Question

双曲线x平方/a平方-y平方/b平方=1(a>0b>0)的两个焦点为F1F2,若P为其上一点,

,若P为其上一点,且a/sin∠PF1F2=C/sin∠pf2f1,则双曲线离心率的取值范围

Answer 1

由正弦定理sin∠PF1F2/sin∠PF2F1=|PF2|：|PF1|
|PF1|/|PF2|=c/a=e
|PF1|=e|PF2| (1)
|PF1|-|PF2|=2a (2)
联立（1）（2）解出PF1、PF2
(e-1)|PF2|=2a
|PF2|=2a/(e-1)
|PF1|=e|PF2|=2ae/(e-1)
sin∠PF1F2≠0， sin∠PF2F1≠0
P,F1,F2构成三角形
|PF1|+|PF2|>2c
2ae/(e-1)+2a/(e-1)>2c
e+1>e(e-1)
e²-2e-1<0
1-√2<e<1+√2
又 e>1
双曲线离心率的取值范围是(1,1+√2)