Question

求函数y=(cosx)^2*sinx(x∈(0,π/2])的最大值。。

Answer 1

x∈(0，π/2]，sin²x、cos²x∈(0，1)
y²=(cos²x)²×(sin²x)=(1/2)×【(cos²x)×(cos²x)×(2sin²x)】
而：cos²x＋cos²x＋2sin²x=2=常数，则：
(cos²x)×(cos²x)×(sin²x)有最大值，且当cos²x=cos²x=2sin²x时取等号，其最大值是当cos²x=2/3、sin²x=1/3时取得的：y(max)=(2√3)/9

Answer 2

令a=cosx, b=sinx, 则a,b为正数，且a^2+b^2=1
y=a^2*b=(1-b^2)b=b-b^3
y'=1-3b^2=0,得极值点b=1/√3
此为极大值点。y(1/√3)=1/√3-1/(3√3)=2/(3√3)
端点值y(0)=0, y(1)=0,
故最大值为2/(3√3).

追问

若不换元呢？另外，如何得极值点b，两侧增减性是否同不换元一样。。

追答

换元是为了看起来简洁，不换元应该可以用基本不等式来做。
这里用求导的方法来得到最值。（最值通常为端点值或极值）

Answer 3

y=(1-(sinx)^2)*sinx=sinx-(sinx)^3
y'=cosx-3*(sinx)^2*cosx=cosx*(1-3*(sinx)^2)
令y'=0,即cosx*(1-3*(sinx)^2)=0,
1-3*(sinx)^2=0
(sinx)^2=1/3
sinx=1/√3 ,x∈(0,π/2]
所以 最大值y=(1-1/3)*1/√3 =2/3√3