Question

高二圆锥曲线，求解

Answer 1

1、
由题意得：√[x²+(y+2)²]+√[x²+(y-2)²]=8
M(x,y)，设F1(0,-2)，F2(0,2)
则上式可看做是：MF1+MF2=8
符合椭圆的第一定义，所以：c=2，a=4
则：b²=a²-c²=12
注意：焦点在y轴
所以，M(x,y)的轨迹C的方程为：y²/16+x²/12=1

2、
以下是向量：
OP=OA+OB
由平行四边形法则可知：OP是以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线
即四边形OAPB是平行四边形
则要使OAPB是矩形，则只要使得OA⊥OB即可。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
向量OA=(x1,y1)，向量OB=(x2,y2)
OA⊥OB，则：x1x2+y1y1=0 ①
若直线L的斜率不存在，则：A,O,B共线，不符合题意，舍去
设L的斜率为k，又过点(0,3)，则L的方程为：y=kx+3
A,B在直线L上，则：
y1=kx1+3，y2=kx2+3
所以，y1y2=k²x1x2+3k(x1+x2)+9，代入①得：
(k²+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0 ②
y=kx+3代入椭圆y²/16+x²/12=1得：
(kx+3)²/16+x²/12=1
整理得：(3k²+4)x²+18kx-21=0 （点（0,3）在椭圆内，无需检验判别式）
由韦达定理：x1+x2=-18k/(3k²+4)，x1x2=-21/(3k²+4)
代入②得：-21(k²+1)/(3k²+4)-54k²/(3k²+4)+9=0
-7(k²+1)/(3k²+4)-18k²/(3k²+4)+3=0
(-25k²-7)/(3k²+4)+3=0
(25k²+7)/(3k²+4)=3
25k²+7=9k²+12
16k²=5
k1=-√5/4，k2=√5/4
所以，存在满足题意的直线L，方程为：y=-(√5)x/4+3或y=(√5)x/4+3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O