Question

如图：已知平行四边形ABCD的四个内角平分线分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形

Answer 1

平行四边形相邻的内角和为180度，即角DAB+角ABC=180度，
由角平分线有：
角BAF=1/2角DAB，角ABF=1/2角ABC
从而有：角BAF+角ABF=1/2角DAB+1/2角ABC=1/2（角DAB+角ABC）=1/2 * 180度=90度
从而得，角AFB=180度-（角BAF+角ABF）=90度
即AF垂直于BF，同理可证CH垂直于DH
再由平行四边形对角相等，有角ABC=角ADC，
由角平分线有：
角FBC=1/2角ABC，角ADH=1/2角ADC
从而有，角FBC=角ADH
设N为DH与BC的交点，AD平行于BC，有角ADH=角DNC
即角FBC=角DNC，从而有BF平行于DN。
同理可证AF平行于CH。
从而EFGH为矩形。
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