Question

已知一个三角形两只角的平分线相等,证明这个三角形是等腰三角形

Answer 1

好象应该用反证法

设如果2个角的角平分线相等，那么这个三角形是三边不规则三角形。但这显然是错误的，因为随角的变化，三边也发生变化，角平分线也就有所不同。（我认为角，三边决定平分线）。所以设想“如果2个角的角平分线相等，那么这个三角形是不规则三角形”是非也。反“这个三角形是三边不规则三角形”是“这个三角形是三边规则三角形”三边规则的只有等边三角形，而等边三角形是在等腰三角形的范畴内，所以证明命题：“在一个三角形中，如果2个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形”是正确的。

Answer 2

如果一个三角形两个角的角平分线相等,试证明这个三角形为等腰三角形.

设三角形为ABC，CD、BE分别是角平分线，证明：ABC是等腰三角形？

证明：
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC