Question

对于lim[x→0]xsin1/x,为什么化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x后上下求导，得

对于lim[x→0]xsin1/x,为什么化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x后上下求导，得到lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）≠0了呢？貌似我用洛必达没错啊？

Answer 1

对极限 lim[x→0]（x²sin1/x)/x 应用罗比亩枝达法则前提是分子分母求导后的极限
lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）
存在，但事实上迅宏敏这个极限 lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）不存在，理由是这个 lim[x→0]cos1/x）不存在。所以极限lim[x→0]（x²sin1/x)/x不能用罗比达法则计绝备算。也就是说，得另求它法计算。这与极限
lim[x→0]xsin1/x,=0
并无矛盾。这个极限的计算方法就是：无穷小乘有界量还是无穷小。

追问

谢谢啦……虽然由于别人说得更多不得不把金币给别人。

追答

没关系，你懂了最好。呵呵

追问

对了，楼下说"错误在sin1/x 在x=0处，不连续，不能求导",但这和我用洛必达有关吗？谢谢！

追答

1）这个极限 lim[x→0]xsin1/x 不能用罗比达法则，因为不是0/0型。
2）sin1/x 在x=0处不连续，自然在x=0不能求导。x不等于0，还是可导的，如果用罗比达法则，涉及到这个函数可以求导，但罗比达法则的前提条件一定要满足。法则取消用罗比达法则。
3）这个函数 f(x)=x²sin1/x在x=0处不但连续，而且可导，f'(0)=0

追问

那就是说对于lim[x→1]（x-1）（sin1/x-sin1），可以化为lim[x→1]（x-1）²（sin1/x-sin1)/（x-1）再洛必达吗？（且不论洛必达是不是好方法）谢谢！

追答

可以。因为极限 lim[x→1]（x-1）²（sin1/x-sin1)/（x-1）=lim[x→1][2（x-1)（sin1/x-sin1)-((x-1)^2/x^2)cos(1/x)]=0存在。

Answer 2

洛必达法则的适用条件里有一条是limf'(x)/F'(x)存在，而如果按你的方法做，分子求导后得f'(x)=2xsin1/x-cos1/纤磨手x，由于x趋于0时，极限cos1/x不存在，所以limf'(x)/F'(x)不存在（也不是无穷大）游岩，不符合洛必达法则的适用条件毁嫌，所以这个极限是不能用洛必达法则做的。

追问

貌似是的，谢谢！其实每个人我都想给他分……

追答

不用谢，你能对一个简单的问题提出深刻的疑问是很不容易的，学习数学就需要这种精神，加油吧，呵呵。

追问

对了，楼下说"错误在sin1/x 在x=0处，不连续，不能求导",请问这是怎样的考虑？和（x²sin1/x）‘在x->0时极限不存在是一个思想吗？谢谢！

追答

你说的对，是我刚才没考虑清楚，这题按你说的也没错。对x²sin1/x求导数过程中需要求sin1/x的导数，而sin1/x在x=0处不连续，故不可导，但这不意味着x²sin1/x不可导，只是不能利用公式(uv)'=u'v+uv'而已，可以用定义求f(x)=x²sin1/x在x=0处的导数。x趋于0时，f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/x=limxsin1/x=0，只是这样又绕回求极限limxsin1/x的问题了，所以你分子分母同乘x再用洛必达原则上没有错，只是没有意义而已。你的错误只在于认为f'(0)=lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）这一步上而已，祝你学习进步。

追问

嗯，谢谢了！

Answer 3

原式中sin1/x的极限是不存在的。你可以写成这样lim[x→0]x乘以sin1/x。
别对sin1/x求极限，因为它极限不做仿存在。当x→0时，x=0,而，|sin1/x|≤1是有界变游雀量
0乘以有界变量都为0，所以原式极限为0.
不过你神胡早这样变换也是对的。

追问

那为什么结果是lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）貌似不等于零？还是它就是零只不过我想错了？能算一下这个极限吗？

追答

对不起，是我想错了，你变得那个方法是错的。因为sin1/x的极限本身就不存在，所以罗必达法则在这道题失效了，你要用无穷小的性质来做，就是我那个方法。

追问

谢谢啦……虽然由于别人说得更多不得不把金币给别人。不过，和sin1/x极限不存在有关吗？不应该是2xsin1/x-cos1/x极限不存在所以不能用洛必达吗？（或者是您的意思是sin1/x导数不存在？）请问您是怎么考虑的呢？谢谢！

Answer 4

利用无穷小量的性质：
∵当x→0是，纤乎x是无穷小量没册，|sin1/x|<=1是毁察悉有界量
∴根据无穷小量的性质，x*sin1/x是无穷小量
∴lim[x→0]xsin1/x=0

追问

我当然知道lim[x→0]xsin1/x=0，我只是问为什么为什么原式化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x后上下求导，得到lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）就不等于零了？

追答

因为不符合洛必达法则，罗必达法则是：
条件：1.f(x)-->0,g(x)-->0 2. f'(x)存在，g'(x)0 3. f'(x)/g'(x)存在
结论：lim [f(x)/g(x)]=lim [f'(x)/g'(x)]
你变化后，f(x)=x^2sin(1/x) g(x)=x，前两个条件尚满足，但条件3不满足，（分子极限不存在），所以不能应用洛必达法则。

追问

x->0时，对于limx²sin1/x，sinx有界，x²为无穷小，这极限应该为零（也就是存在）啊。

追答

问题是求导以后，lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）不存在，但分母x'=1,极限存在，
f'(x)/g'(x)不存在，条件3不满足，所以不能应用洛必达法则。并且严格说来x²sin1/x也是不可导的，（在x=0处），因为不连续。

追问

嗯，谢谢了！

Answer 5

limxsin1/咐悉芹x 1/x为∞，sin1/x∈[-1，衡毕1]
x→0
洛必达法则要求：0/0型
根据洛必达法则要求，将其转化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x 才陆皮可用

追问

我是将它转化为这样了啊……请您继续看看我的问题吧，谢谢！

追答

lim（x²sin1/x)/x =lim (2xsin1/x+x²cos1/x *(-1/x^2))
x→0
错误在sin1/x 在x=0处，不连续，不能求导

追问

我是不是对洛比达还是极限理解有问题？我想的是，x-》0时，x≠0，此时可以用洛比达。

追答

x→0时，x≠0，此时可以用洛比达，没有错。洛比达法则本质是求导，它是建立在原函数是可导的条件下，如果原函数不可导，0/0型同样不能用该法则，清楚了吗？

追问

我昏头了……谢谢，可惜分只能给一个人。对不起了，不过，你说sin1/x在x=0处不能求导，但用洛必达时需要考虑这个吗？不是考虑x²sin1/x的导数存不存在就行了么？（虽然给不了分，但还是希望您指教一下，谢谢了。）