Question

高等数学证明题！！！大神进！！！

Answer 1

这题还真是挺有意思的。首先要用到一个常用的构造函数的技巧，令S(x)=行列式1 1 1
a b x
f(a) f(b) f(x)
=行列式b-a x-a
f(b)-f(a) f(x)-f(a)，这个|S(x)|就等于三角形ABC面积的2倍，你可以自己画图证明一下。
对S(x)求二阶导数，计算后得|S''(x)|=|f''(x)|(b-a)≥2。观察图形可知S(a)=S(b)=0（因为在a,b点三角形的“高”为0），因此根据罗尔定理，知存在m属于(a,b)使得S'(m)=0。在x=m点对S(x)进行泰勒展开，得S(x)=S(m)+S'(m)(x-m)+S''(ζ)(x-m)^2/2=S(m)+S''(ζ)(x-m)^2/2。由于|f''(x)|≥1，所以f''(x)≠0，因此根据导函数的介值性，可知f''(x)在[a,b]上恒正或恒负，因此f(x)在[a,b]上是凹或凸函数。根据凹凸函数的性质，S(x)和f''(x)异号（因此本题中S(x)和S‘’(x)异号），不妨假设S(m)>0，则S‘’(ξ)<0，因此根据不等式|α-β|≥||α|-|β||，有|S(x)|=|S(m)+S''(ζ)(x-m)^2/2|≥|S(m)-S''(ζ)(x-m)^2/2|≥|S''(ζ)|(x-m)^2/2≥(x-m)^2。现在只要取x保证|x-m|≥1（由于b-a=2，所以x是可以在[a,b]中取到距离m至少为1的点），就有|S(x)|≥1，因此三角形ABC的面积等于|S(x)|/2≥1/2。有不明白的地方欢迎追问。