Question

已知函数f(x)=a/x+lnx-1(a是常数）

讨论f(x)的单调区间；
当a=1时，方程f（x）=m在x∈ [
1/
e ，e] 上有两解，求m的取值范围；（e≈2.71828）；
求证：ln
乘n/
n-1＞
1
/n（n＞1，且n∈N*）

Answer 1

f(x)定义域为x>0。f'(x)=(x-a)/x^2。如果a≤0，f(x)在定义域内单调增。当x≥a＞0时，f(x)单调增，0＜x≤a时，f(x)单调减。
令g(x)=f(x)-m=1/x+lnx-1-m；g(x)在定义域内只有一个最小值点x=1，g(1)=-m，要g(x)在[1/e ，e] 上有两解，需g(1/e)和g(e)>0且g(1)<0
g(1/e)=e-2-m＞0；g(e)=1/e-m＞0；所以m的取值范围：0<m<1/e
因为x>-1时，ln(1+x)<x，所以ln(1-1/n)<-1/n