Question

已知函数f（x）=（acosxsin2x-cos2x+1）/2sinx 当a=2时 求f（x）的值域

Answer 1

解：
根据公式：
sin2α=2sinαcosα

cos2α==1-2sin²α

则：
f(x)=(2acos²xsinx-1+2sin²x+1)/(2sinx)
=a(1-sin²x)+sinx
=-asin²x+sinx+a
其中：sinx≠0，则：x≠2kπ，k∈Z
当a=2时
f(x)=-2sin²x+sinx+2
=-2(sinx-1/4)²+17/8
根据x≠2kπ，和-1≤sinx≤1可得：
f(x)≠2
因此，值域为：
[-1，2)U(2,17/8]

Answer 2

倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=1-2sin²x
又a=2
所以，f(x)=(4sinxcos²x-1+2sin²x+1)/2sinx
=2cos²x+sinx
=2(1-sin²x)+sinx
=-2sin²x+sinx+2
令sinx=t，y=f(x)，注意：sinx≠0，所以，t∈[-1,0)U(0,1]
则：y=-2t²+t+2 t∈[-1,0)U(0,1]
开口向下，对称轴为t=1/4的抛物线
当t=1/4时，y有最大值，y(1/4)=17/8；
当t=-1时，y有最小值，y(-1)=-1；
所以，y∈[-1,17/8]
即f(x)的值域为[-1,17/8]

ps：求y的值域是t≠0不用考虑是因为根据抛物线的对称性，y(0)=y(1/2)

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O