Question

求z=x^2y(4-x-y)在由直线x+y=6与

Answer 1

解:(1)先求函数在D内的驻点。

f`x=2xy(4-x-y)-(x^2)y=0,f`y=(x^2)(4-x-y)-(x^2)y=0。

得x=0(0<=y<=6)及点(4,0),(2,1)。

在D内只有唯一驻点(2,1),f(2,1)=4。

(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值。

在边界x=0(0<=y<=6)和y=0(0<=x<=6)上f(x,y)=0。

在边界x+y=6上,y=6-x代入f(x,y)中,得。

f(x,y)=(x^2)(6-x)(-2)=2x^3-12x^2。

所以f`x=6x^2-24x=0。

解得x0=0(前已讨论过),x=4,则y=2,f(4,2)=-64。

比较后知：f(2,1)=4最大,f(4,2)=-64最小。

函数有界性

设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。

如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

Answer 2

解:(1)先求函数在D内的驻点.
f`x=2xy(4-x-y)-(x^2)y=0,f`y=(x^2)(4-x-y)-(x^2)y=0
得x=0(0<=y<=6)及点(4,0),(2,1)
在D内只有唯一驻点(2,1),f(2,1)=4
(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x=0(0<=y<=6)和y=0(0<=x<=6)上f(x,y)=0
在边界x+y=6上,y=6-x代入f(x,y)中,得
f(x,y)=(x^2)(6-x)(-2)=2x^3-12x^2,
所以f`x=6x^2-24x=0
解得x0=0(前已讨论过),x=4,则y=2,f(4,2)=-64
比较后知
f(2,1)=4最大,f(4,2)=-64最小.
这道题是陈的<复习指南>上的例题,他的书还是不错的.

Answer 3

令
∂z
∂x
＝xy(8−3x−2y)＝0
∂z
∂y
＝x2(4−x−2y)＝0
⇒
3x+2y＝8
x+2y＝4
⇒f（x，y）的唯一驻点：（2，1），
且有z|（2，1）=4．
在边界x=0，y=0上均有z=0．
在边界x+y=6上，
将y=6-x代入函数得，
z=2x3-12x2．
令
dz
dx
＝6x2−24x＝6x(x−4)＝0得x=4，
此时，z|（4，2）=-64，
故所求函数的最大值为z|（2，1）=4，
所求函数的最小值为z|（4，2）=-64．

Answer 4

详情如图如图所示

有任何疑惑，欢迎追问