Question

高一数学压轴题

已知函数f(x)=1/2cos2x+asinx-a²+2a+11/2.(x属于R，a属于R)
（1）若函数fx的最小值为2，求a的值
（2）把函数fx的最大值记为g(a), 求g(a)的值域

Answer 1

f(x)=1/2-sin²x+asinx-a²+2a+11/2
=6-(sinx-a/2)²-3a²/4+2a
(1)当a/2≤0，即a≤0时，f(x)(min)=6-(1-a/2)²-3a²/4+2a=5-a²+3a
由5-a²+3a=2解得a=(3-√21)/2，a=(3+√21)/2舍去
当a/2≥0，即a≥0时，f(x)(min)=6-(-1-a/2)²-3a²/4+2a=5-a²+a
由5-a²+a=2解得a=(1+√13)/2，a=(1-√13)/2舍去
综上所述，a=(3-√21)/2或a=(1+√13)/2
(2)当a/2＜-1，即a＜-2时，f(x)(max)=6-(-1-a/2)²-3a²/4+2a=5-a²+a
即g(a)=-a²+a+5(a＜-2)，这时g(a)的值域为(-∞，-1)
当-1≤a/2≤1，即-2≤a≤2时，f(x)(max)=6-3a²/4+2a
即g(a)=-3a²/4+2a+6(-2≤a≤2)，这时g(a)的值域为[-1，22/3]
当a/2＞1，即a＞2时，f(x)(max)=6-(1-a/2)²-3a²/4+2a=5-a²+3a
即g(a)=-a²+3a+5(a＞2)，这时g(a)的值域为(-∞，7)
综上所述，g(a)的值域为(-∞，22/3]

追问

为什么那两个a要舍去

追答

因为前面分别说明了a≤0和a≥0

追问

哦，懂了。第二问的第二种情况不太懂，能再解释下吗

追答

当-1≤a/2≤1，即-2≤a≤2时，f(x)在sinx=a/2时有最大值

追问

当a=2的时候fx不是应该是7吗，值域不是为[-1，7]吗，22/3是怎么算的

追答

当-2≤a≤2时，g(a)=-3a²/4+2a+6在a=4/3处有最大值22/3

Answer 2

　　f（x）=asinx-1/2cos2x+a-3/a+1/2，
=asinx+(sinx)^2+a-3/a
=(sinx+a/2)^2-a^2/4+a-3/a<=0,a∈R，a≠0.
<==>2a+1-3/a<=0,且1-3/a<=0(即sinx=土1，上式成立)
<==>(2a^2+a-3)/a<=0,且(a-3)/a<=0,
<==>2(a-1)(a+3/2)/a<=0,且0<a<=3,
<==>0<a<=1.a>=2时sinx=-1,f(x)取最小值1-3/a,
依题意1-3/a<=0,
由(1),0<a<=3,
∴2<=a<=3,为所求.