Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，写出你的结论，给出证明

Answer 1

证明：(1)延长DF交AB于G,∠ADG=∠ACB=90°
∴DG∥BC 因为AC=BC DE=DF
∴△ADG和△ACB、△DEF都是等腰直角三角形，
因为AD=DC
∴DC=DG 又DE=DF
∴DE-DE=DG-DF⇒EC=FG
因为∠DEF=∠DGA=45°
∠CEF=∠FGH=135°
又CF⊥FH
∴∠GFH=∠ECF(同为∠CFD的余角)
∴△ECF≅△GFH(AAS)
∴CF=FH
(2)EF=FH
设AB交DE于G,证CE=GF ∠CEF=∠FGH=45°
∠HFG=90°+∠DFC
∠FCE=90°+∠BCF
因为DF∥BC
∴∠DFC=∠BCF
∴∠HFG=∠FCE
∴△HFG≅△FCE
∴EF=FH