Question

求过圆x^2＋y^2－4x＋2y＝0和x^2＋y^2－2y－4＝0的交点，且圆心在直线2x＋4y－1＝0上的圆的方程。

Answer 1

解：x^2＋y^2－4x＋2y＝0 [1]
x^2＋y^2－2y－4＝0 [2]
[1]-[2]化简可得：
y=x-1 [3] y1-y2=x1-x2
将[3]代入[1]式并化简可得：2x^2-4x-1=0
由根与系数的关系可得：x1+x2=2,x1*x2=-1/2 ,(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=6
则[1][2]两交点AB的距离的平方是：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=6+6=12
[1][2]两交点AB的中点C坐标是：(1,0)
设：所求圆的圆心记为O，所求圆的标准方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 [3]
将a，b代入2x＋4y－1＝0可得： 2a+4b-1=0 [4]
在直角三角形AOC中， OC^2+AC^2=R^2 [5]
联立[3],[4],[5].
解[3],[4],[5]组成的方程组即可。

Answer 2

两圆圆心分别为（2，－1）与（0,1)，所在直线方程为相减得x＋y-1=0 与2x＋4y－1＝0
联立得所求圆的圆心为（3/2，－1/2）

设所求圆的方程为x^2＋y^2－4x＋2y＋m(x^2＋y^2－2y－4)＝0 将圆心（3/2，－1/2）代入得m=1/3
所以所求的圆为x^2＋y^2－3x＋y－4＝0

Answer 3

X^2+y^2-4x+2y+5=0
(x-2)^2+(y+1)^2=0
x=2,y=-1
4x^2-12xy+9y^2
=4*4+12*2+9
=39