Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0、-根号3）（0，根号3）的距离之和等于4，设点P的轨迹方程为C 1 ...

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0、-根号3）（0，根号3）的距离之和等于4，设点P的轨迹方程为C
1 求曲线C的方程
2 且直线y=kx＋1与C交于A、B两点，若OA⊥OB，求K的值

Answer 1

(Ⅰ)由题意，根据椭圆的定义可知

点P满足椭圆的定义，所以轨迹C是个椭圆，且焦点在Y轴上

焦距为2√3（即2c=2√3，c=√3） 长轴长4（即2a=4，a=2） 从而短轴长2（即2b=2，b=1）

所以轨迹C的方程为 x²+y²/4=1

(Ⅱ)设A（x1,y1） B（x2,y2）

将y=kx+1带入 x²+y²/4=1 中，化简得 (k²+4)x²+2kx-3=0

由韦达定理 可知 x1+x2= - 2k/ (k²+4) x1*x2= -3/ (k²+4)

因为A、B在直线y=kx+1上，满足直线方程，有y1=kx1+1，y2=kx2+1

所以y1*y2=（kx1+1）*（kx2+1）=k²x1x2+k(x1+x2)+1=（4-4k²）/(k²+4)

要想 OA⊥OB 则 x1x2+y1y2=0 （向量垂直，则数量积为零，数量积用坐标表示就是对应坐标乘积之和）

∴-3/ (k²+4)+（4-4k²）/(k²+4)=0 解得 k=±（1／2）

|AB|=√（1+k²）[（x1+x2）²-4x1x2]=（4√65）/17

Answer 2

根据椭圆的定义得，曲线C为椭圆，标准方程为x^2/2^2+y^2/[2^2-(√3)^2]=1，即x^2/4+y^2=1
因为直线y=kx+1经过椭圆短轴的顶点点(0,1)，且OA⊥OB，所以直线与椭圆的另一交点为椭圆长轴的顶点，所以k=b/(±a)=±1/2