Question

在直角坐标系XOY中.点P到两点(0.-根号3).(0.根号3)的距离之和等于4.设点P轨迹为C.

在直角坐标系XOY中.点P到两点（0.-根号3）.（0.根号3）的距离之和等于4.设点P轨迹为C.直线y=kx+1与C交于A.B两点（
（1）.写出C的方程
（2）.若OA垂直与OB，求K的值，此时AB的模是多少？

我只想知道最后一个，AB模是多少？我算了4*根号65/17，但答案是8*根号13/17，我觉得AB=根号（1+k²）（x1-x2）²，答案是不是忘了乘（1+k²）了？
麻烦谁解解？

Answer 1

(1)根据椭圆定义,P点轨迹是椭圆,焦点坐标为F1(0,-√3),F2(0,√3),
长半轴在Y轴,
方程为:y^2/4+x^2=1.
(2),设OA向量=（x1,y1),OB向量=（x2,y2),
向量OA⊥OB,
OA·OB=x1*x2+y1*y2=0,
y1=kx1+1,y2=kx2+1,
x1*x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
(x1+x2)(1+k^2)+k(x1+x2)+1=0,(1)
把y=kx+1代入椭圆方程，
(4+k^2)x^2+2kx-3=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-2k/(4+k^2),
x1x2=-3/(4+k^2),
代入（1）式，
k^2=1/4,
k=±1/2，
17x^2±4x-12=0,
x1+x2=±4/17,
x1x2=-12/17,
|AB|=√(1+1/4)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=(1/2)√5[(4/17)^2+48/17]
=4√65/17,
和你结果一样。漏了（1+k^2).