Question

数学问题求解！急！！！

已知函数f(x)＝e的x次方乘(x平方+x+a在x＝0)处取得极值，其中a属于R
求a的值和函数f(x)的单调区间

Answer 1

f(x)=e^x*(x^2+x+a),求导，
f(x)’= e^x*(x^2+x+a)+ e^x*(2x+1)= e^x*(x^2+3x+a+1)
f(0)’= e^0*(0+a+1)= (a+1)=0,
a=-1
f(x)=e^x*(x^2+x-1),
f(x)’= e^x*(x^2+3x),
f(x)’’= e^x*(x^2+3x)+ e^x*(2x+3)= e^x*(x^2+5x+3)
令f(x)’= e^x*(x^2+3x)=0，解得：x1=0,x2=-3
f(0)’’ = e^0*(0+3)=3>0,函数在此点有极小值=0；
f(-3)’’ = e^(-3)*(9-15+3)=-3* e^(-3)<0,函数在此点有极大值=(9-3-1)* e^(-3)=5* e^(-3)
函数f(x)在（-∞，-3）U（0，+∞）递增；在（-3，0）递减

Answer 2

1、x=0处，取得极值点，所以有f'(0)=0,其中f'(x)=e^x*(x^2+3x+a+1),得a=-1；
2、由上得f(x)=e^x*(x^2+x-1),f'(x)=e^x*(x^2+3x),令f'(x)＞0，得x＞0或x＜-3，即其单调递增区间是（负无穷，-3）和（0，正无穷）；同理f'(x)＜0，得其单调递减区间为（-3,0）

Answer 3

函数f(x)=(ax^2-1）*e^X
f(x)'=2ax*e^x+ax^2*e^x-e^x=e^x(2ax+ax^2-1)=0
X=1时
f(x)'=0
(2ax+ax^2-1)=0
a=1/3