Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-4,4).将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到

点C，定点在坐标原点的抛物线经过点B.
⑴求抛物线的解析式和点C的坐标
⑵抛物线上一动点P.设点P到X轴的距离为d1，点p到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；
⑶在⑵的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，∵抛物线经过点B（-4，4），∴4=a•42，解得a=1/4，所以抛物线的解析式为：y=1/4x^2；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，∴OD=AD+OA=5，∴C点坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，∵点P在抛物线y=14x2上，∴b=14a2，∴d1=14a2，∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=14a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，PA=d2=AF2+PF2=(14a2-1)2+a2=14a2+1，∴d2=d1+1；（3）作直线y=1，过C点作y=1 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．由（1）得AC=5，∴△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=14x2，得到y=94，即P点坐标为（3，94），此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
追问