Question

设函数f(x)=x^3-3ax+b(a≠0)

设函数f(x)的导函数是f'(x),当a=1时求证:对任意x1,x2∈(3,+∞),|f(x1)-f(x2)|>=|f'(x1)-f'(x2)|成立

Answer 1

根据a=1,所以 f(x)=x^3-3x+b
所以f'(x)=3x^2-3
所以f(x1)-f(x2)=x1^3-3x1-x2^3+3x2=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2)-3(x1-x2)=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2-3)
f'(x1)-f'(x2)=3(x1^2-x2^2)=3(x1-x2)(x1+x2)
因为x1^2+x1*x2+x2^2-3>0 3(x1+x2)>0 (对任意x1,x2∈(3,+∞))
x1^2+x1*x2+x2^2-3- 3(x1+x2)
=x1(x1-3)+x2(x2-3)+x1*x2-3>0
所以x1^2+x1*x2+x2^2-3>3(x1+x2)
所以|x1-x2|*(x1^2+x1*x2+x2^2-3)>=|x1-x2|*3(x1+x2)
所以|f(x1)-f(x2)|>=|f'(x1)-f'(x2)| 当x1=x2时等号成立

追问

x1=x2时好像等号不一定成立吧？？？

追答

x1=x2时候|x1-x2|=0
所以|x1-x2|*(x1^2+x1*x2+x2^2-3)=|x1-x2|*3(x1+x2)=0
所以|f(x1)-f(x2)|=|f'(x1)-f'(x2)|=0

Answer 2

1.
f(x)=x^3-3ax+b（a≠0）
所以，f'(x)=3x^2-3a
已知在x=2时，与直线y=8相切
则，f(2)=8
===>
8-6a+b=8
===>
-6a+b=0………………………………………………（1）
又，f'(2)=0
===>
12-3a=0………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：a=4，b=24
2.
f'(x)=3x^2-3a=3*(x^2-a)
因为x^2≥0，a＜0
所以，x^2-a＞0
所以，f'(x)＞0
则，f(x)在R上单调递增
3.
f'(x)=3*(x^2-a)=0时：x=±√a
x＞√a时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
-√a＜x＜√a时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
x＜-√a时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.
所以，x=√a为极小值点；x=-√a为极大值点.

Answer 3

1)由题意,y=f(x)过(2,8),且在该点处切线斜率为0
f(x)=x^3-3ax+b
f(2)=8-6a+b=8①
f'(x)=3x^2-3a
f'(2)=12-3a=0②
解①②得
a=4,b=24
2)f(x)=x^3-12x+24,f'(x)=3x^2-12
令f'(x)>=0,
即3x^2-12>=0,
∴x>=2或x<=-2
令f'(x)<=0,
即3x^2-12<=0,
∴-2<=x<=2
∴f(x)在(-∞,-2]和[2,∞)上单调增,在[-2,2]上单调减
f(x)极大值为f(-2)=-8+24+24=40
f(x)极小值为f(2)=8-24+24=8

Answer 4

1)由题意,y=f(x)过(2,8),且在该点处切线斜率为0
f(x)=x^3-3ax+b
f(2)=8-6a+b=8①
f'(x)=3x^2-3a
f'(2)=12-3a=0②
解①②得a=4,b=24
2)f(x)=x^3-12x+24,f'(x)=3x^2-12
令f'(x)>=0,即3x^2-12>=0,∴x>=2或x<=-2
令f'(x)<=0,即3x^2-12<=0,∴-2<=x<=2
∴f(x)在(-∞,-2]和[2,∞)上单调增,在[-2,2]上单调减
f(x)极大值为f(-2)=-8+24+24=40
f(x)极小值为f(2)=8-24+24=8