Question

多元函数的题

设区域D={(x,y)I x^2+y^2≤4a^2},若 ∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy=144π，则a=?

Answer 1

∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy等于球心在坐标原点，半径为2a的上半球的体积
∴∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy=1/2*4/3*∏*(2a)³=144
解得a=3

【注：一重积分表示区域面积，二重积分，表示区域体积
可从下面两式子看出一重积分与二重积分的联系与区别，利于理解
D={xI x^2≤4a^2},A=∫(D)√(4a^2-x^2)dx。表示圆心在坐标原点，半径为2a的上半圆的面
D={xI x^2≤4a^2},V=∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy。等于球心在坐标原点，半径为2a的上半球的体积
或 化到三维空间中解决问题。∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy中，令z=√(4a^2-(x^2+y^2))。则。z^2=4a^2-(x^2+y^2)。即z^2+x^2+y^2=4a^2 在对X积分表示在XZ方向（x^2+z^2=4a^2），积分区域的面积
。再对Y积分，表示这些面积在Y方向堆积的体积。
就形成了球体。又z＞0,∴为半个球体体积。】

Answer 2

区域是圆心在原点，半径为2a的圆
设z= x^2+y^2，就是把z=x^2绕z轴旋转所得的曲面
那么∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy的几何意义，就是上面的曲面和平面z=4a^2所围成的面积
转化到z轴上，有
原式
=∫(0,4a^2)πzdz
=(π/2)z^2|(0,4a^2)
=8πa^4
=144π
那么，a^2=3√2

追问

答案是a=3，你哪个地方错了吧？

追答

不好意思，没看见根号。。

Answer 3

作极坐标变换，
∫∫(D)√(4a^2-x^2-y^2)dxdy=(r=0 →2a)∫∫(D‘)√(4a^2-r^2)rdrdφ=(16π/3)a^3=144π,a=3。

Answer 4

用极坐标，令x=rcosA,y=rsinA
∫(0,2π)dA∫(0,2a))√(4a^2-r^2)dr=144π
dr部分的积分=8/3*a^3,dA部分的积分为2π，所以解得a=3

Answer 5