Question

设f(X)=|lgx|,a,b为实数，且0<a<b.若a,b满足f(a)=f(b)=2f（a+b/2）,求证a*b=1,a+b/2>1.

设f(X)=|lgx|,a,b为实数，且0<a<b.若a,b满足f(a)=f(b)=2f（a+b/2）,求证a*b=1,a+b/2>1 . 谁给解答下希望有详细过程谢谢了

Answer 1

因为f(X)= |lgx|，且0<a<b满足f(a)=f(b)，所以0<a<1<b，且 |lga|= |lgb|，
从而 -lga= lgb，即lg(ab)=0，故ab=1。
下面用反证法证明a+b/2>1。
1）若a+b/2<1，则lg(a+b/2)<0，由f(a)=2f(a+b/2)，得-lga= -2lg(a+b/2)，
即a=(a+b/2)²=a²+ab+b²/4= a²+1+b²/4>1，与0<a<1矛盾。
2）若a+b/2=1，则lg(a+b/2)=0，显然不合条件。
故a+b/2>1