Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．

（2）求证：PC∥平面EBD；

Answer 1

连接AC,BD,交点为G.

∵△CBG∽△ADG,且CB=2AD.

∴CG=2AG

在三角形PCA中,PE=2AE,CG=2AG.

∴EG‖PC.

∵EG在平面EBD内

∴PC‖平面EBD.

追问

请问CB=2AD.是如何得到的

追答

CD⊥PD
而PD在面ABCD的投影是BD
根据三垂线定理
CD⊥BD
AD∥BC，AB⊥BC
所以BD=3根号2
角CBD=45°（CD⊥BD）
所以BC=6
CB=2AD

Answer 2

解析：由PB⊥底面ABCD得PB⊥AB，PB⊥BC，以

BC
，

BA
，

BP
分别为x，y，
z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2，则B（0，0，0），A（2，0，0），D（2，2，0），
由PB⊥底面ABCD，PB⊥CD，CD⊥PD，PD∩PB=P，CD⊥面PBD，CD⊥BD，所以△CDB为等腰直角三角形，故DB=2
2
，CB=
2
BD=4，
∴C（0，4，0），P（0，0，2），（3分）
（1）

PA
=(0，2，-2)，

CD
=(-2，2，0)，
∴cos＜

PA
，

CD
＞=
1
2
，故异面直线PA与CD所成的角为60°； （7分）
（2）

PE
=λ

EA
，∴

BE
-

BP
=λ(

BA
-

BE
)，∴

BE
=
λ
1+λ

BA
+
1
1+λ

BP
，

BA
=(0，2，0)，

BP
=(0，0，2)，

BE
=(0，
2λ
1+λ
，
2
1+λ
)，

PC
=(4，0，-2)，
设面BDE的一个法向量为

n
=(x，y，z)，
n•BE=0n•BD=0
∴
2λy1+λ+2z1+λ=02x+2y=0
∴
x=-yz=-λy
，
令y=1，

n
=(-1，1，-λ)，
要使PC∥平面EBD，则必须有

PC
⊥

n
，∴-4+2λ=0，λ=2，所以当λ=2时PC∥平面EBD． （11分）
（3）

BC
⊥面ABE，

n
=(-1，1，-2)，

BC
=(4，0，0)，cos＜

BC
，

n
＞=-
6
6
，
∴二面角A-BE-D的平面角的余弦值为
6
6 ．