Question

已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上存在一点P,使得|PF1|乘|PF2|=32

试求三角形F1PF2的面积

Answer 1

已知双曲线x^2/9-y^2/16=1
a^2=9 a=3
c^2=a^2+b^2=25 c=5
设P位于双曲线右支上，则
|PF1|-|PF2|=2a=6 平方，得 |PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|=36
因为 |PF1|*|PF2|=32
所以 |PF1|^2+|PF2|^2=100
||F1F2^2=4c^2=100
余弦定理
cos∠F1PF2=( |PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2)/2|PF1|*|PF2|=0
所以∠F1PF2=90°
S三角形F1PF2=1/2* |PF1|*|PF2|=16

Answer 2

给你思路吧：

• 依据对称性易知满足条件的P有四个，不妨只讨论一象限中有P

• 利用条件|PF1|*|PF2|=32，结合双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a=6，求出|PF1|、|PF2|

• 三边已知，利用海伦公式易得面积

• 如果不熟悉海伦公式就设P点坐标，利用两点间距离公式及双曲线方程求出P坐标yp，然后利用S=(1/2)*|F1F2|*|yp|求解

• 在三边已知的情况下，当然也可以利用余弦定理求出任意两边的夹角的余弦值，进而求出正弦值（如|PF1|、|PF2|夹角），然后利用S=(1/2)*|PF1|*|PF2|*sin∠F1PF2求解

Answer 3

面积为16。设PF1=x,则有x^2 6x=32.由余弦定理,cosa=0.a=90度.S=b^2tana/2=16