Question

在平面直角坐标系中,点P到两点(0,-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,y=kx+1与C交于A,B

(1) 以AB为直径的圆经过原点O, 求K的值

Answer 1

C的轨迹方程为：x^2+y^2/4=1(过程略)，也可化为4x^2+y^2=4，
将y=kx+1代入4x^2+y^2=4可得4x^2+（kx+1）^2=4，整理得(4+k^2)x^2+2kx-3=0,
设A(X1，YI)、B(X2，Y2)，由题意OA垂直于OB，所以斜率乘积为-1，即(Y1/X1)*(Y2/X2)=-1，整理得Y1*Y2+X1*X2=0.
由韦达定理知：X1+X2=-2k/(4+k^2),X1*X2=-3/(4+k^2),Y1*Y2=(kx1+1)*(kx2+1)=k^2X1*X2+k(X1+X2)+1,代入Y1*Y2+X1*X2=0得-3（k^2+1）/(4+k^2)-2k^2/(4+k^2)+1=0，
解得：K=1/2或K=-1/2.

Answer 2

P点轨迹为:X2+Y2/4=1
联立方程得（4+k2）X2+2kX-3=0
圆过原点，OA与OB垂直
即X1*X2+Y1*Y2=0
X1*X2=-3/(4+k2)
Y1*Y2=(kX1+1)(kX2+1)=(4-4k2)/(4+k2)
X1*X2+Y1*Y2=0
带入的k=1/2或k=-1/2