Question

为什么在实数与复数之间不存在数域

Answer 1

首先，包含实数域的数域必定可以由实数域R通过域扩张得到，显然，要想得到R和C之间的域，减少添加的扩张元是必要的，因为C是R的单扩张，仅仅添加了虚数单位i。。。设x是添加的元素，并且设x^n=y∈R（如果没有这个条件，那么R(x)必定不包含于C），于是n必须≤2才能保证R(x)包含于C，但是n必须≥2，因此n=2.。。。这时，通过映射x→i可以得到一个保持R不变的域同构，也就是说，R(x)≌C=R(i)，所以R(x)不可能真包含于C。。
或者换个角度讲，单扩张是R上的最小扩张（同构意义下），而C已经是R上的单扩张，[C:R]=2，
对任何域扩张k，k必须满足[k:R]≥2，所以k至少与C同构。