Question

数学问题,求高人指点

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=
1
4
x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，
①求△ACQ周长的最小值；
②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．

像这道题的第三小题的第一问 是
如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=6于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；

而有的题目是 做 某点 与 x轴的 对称点 三角形周长最小 这是为什么啊,求解 而且 为什么延长AB交抛物线于A′,AC+A′C的长就是最短的呢

我是初三的 别用那些 高中的 理论

Answer 1

考点：二次函数综合题．
分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；
②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．
解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，
∵正方形CDEF的面积为1，
∴CD=CF=1，
根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，
∴5n2=（n+1）2+1，
解得：n=1或n=- 12（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B点坐标为（2，2）；
（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在抛物线上，
\∴ {c=214×4+2b+c=0，
解得： {c=2b=-32，
∴抛物线的解析式为：y= 14x2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，
∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，
∵C与G关于直线x=3对称，
∴CF=FG=1，
∴MF= 12FG= 12，
在Rt△PEF与Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵ FMEF=121=12， EFPF=12，
∴ FMEF=EFPF，
∴△PEF∽△EMF，
∴∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，
则有AQ=A′Q，
∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，
∵A与A′关于直线x=3对称，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C=（6-2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，
∴△ACQ周长的最小值为2 2+2 5；
②当Q点在F点上方时，S=t+1，
当Q点在线段FN上时，S=1-t，
当Q点在N点下方时，S=t-1．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．

Answer 2

第三问你的思路是对的，不过对称轴应该是X=3

(1) B点的坐标是(2,2)
我的方法是通过解方程得到的
连接PB，PE，设PC=a，则在Rt△PBC和Rt△PEF中利用勾股定理可得到
a^2+(2a)^2=(a+1)^2+1^2
可以解得a=1，a=-(1/2)(舍去)
由此的B点坐标
(2)我想你的抛物线为
y=(1/ 4)x^2+bx+c
A,C点的坐标为(0,2) (2,0)
这样可以得到抛物线的y=(1/ 4)x^2-(3/2)x+2
这样可以得到G点的坐标（4,0）从而得到M点的坐标（3.5,0）
加上F点的坐标（3,0）P点的坐标（1,0）E点的坐标（3,1）这样PE,EM,PM都可以求出长度，从而利用勾股定理的逆定理得到PE垂直于EM，从而第二问得证

（3）①这个在对称哪里应该讲过。问题主要在于AC的长是固定的，所以主要看AQ+CQ的长了
按你说的继续下去，问题就解决了，在你做的图这个时候AQ+CQ=A′Q+CQ=A′C
如果Q点不在这个交点上，就组成△QCA′，这个时候A′Q+CQ>A′C(三角形两边之和大于第三边)
AQ+CQ=A′Q+CQ>A′C ，所以当 Q点在A′C 对称轴的焦点的时候最短
②这里没说t的取值范围，我按正常理解t>=0，那么由N点的坐标（3，-1）可得t不等于1
那么函数有三种情况
1，Q在X轴上方或者X轴上
S△ACQ=S△ANQ-S△CNQ=(3/2)(1+t)-(1/2)(1+t)=1+t
2，Q在X轴下方，N点上方
S△ACQ=S△ANQ-S△CNQ=(3/2)(1-t)-(1/2)(1-t)=1-t

3，Q在N点下方

S△ACQ=S△ANQ-S△CNQ=(3/2)(t-1)-(1/2)(t-1)=t-1

如果按照坐标系的理解FQ=t可以取负值，（但是面积不能取负值）那么函数就是分段函数

t>-1时

S△ACQ=S△ANQ-S△CNQ=(3/2)(1+t)-(1/2)(1+t)=1+t

t<-1时
S△ACQ=S△ANQ-S△CNQ=(3/2)(-1-t)-(1/2)(-1-t)=-1-t

或者用一个函数（加上绝对值）
S△ACQ=S△ANQ-S△CNQ=(3/2)|1+t|-(1/2)|1+t|=|1+t| （t≠1）

Answer 3

Answer 4