Question

为什么相似矩阵对角化时特征向量不需要正交化单位化，而在实对称矩阵对角化时需要

Answer 1

建议最好看书或问同学，老师 会比较清楚
其实是这样的 相似是 P^-1 AP=B 所以这章只要相似化
而后面的你所说的这一章 涉及到得是合同矩阵 即 C^T AC=B 所以这章要求的是合同化 单位正交化是其中一种方法
这一章是要将实对称矩阵A通过合同即 C^T AC 化为对角矩阵
其中的一种方法是通过求特征值及特征向量 再将特征向量正交单位化 而后组成矩阵
此时 这个组成的矩阵的转置矩阵与逆矩阵一样即C^T =C^-1
因此 C^T AC=C^-1 AC=B (B这里代表对角矩阵）

Answer 2

一般情况下只需矩阵的相似对角化
但对二次型 f = X^TAX, A是实对称矩阵, 将二次型化为标准形时, 涉及矩阵A的对角化,
此时需要变换X=PY 是正交变换.
这样的话, P^T=P^-1
所以 f = YP^TAPY = Y P^1AP Y