Question

有关线性代数中矩阵的问题，求解？如题 谢谢了

有关线性代数中矩阵的问题，求解？1.设A是N阶矩阵，N是奇数，且AA '＝I，|A|=1,证明I-A不可逆 2.设A是N阶矩阵，且满足AA '＝I，|A|=-1，证明A＋I不可逆 3.若A，B是N阶方阵，且I＋AB可逆，则I＋BA也可逆，且（I＋BA）^（－1）=I-B(I＋AB)^(-1)A 4.若A^2=B^2=I,且|A|＋|B|=0,试证明：A＋B是不可逆矩阵 请给出证明过程，谢谢。

Answer 1

1，因为AA'=E,所以(E-A)'A=A-E 所以|(E-A)'||A|=|A-E|=|(E-A)'|=|E-A| 所以|-(E-A)|=|E-A|,因为A是N阶所以E-A也为N阶 所以(-1)^n|E-A|=|E-A|,因为N是奇数,所以-|E-A|=|E-A|,所以|E-A|=0,所以E-A不可逆 2，同理(E+A)'A=A+E |(E+A)'||A|=|A+E| 所以-|(E+A)'|=-|E+A|=|E+A| 所以|E+A|=0,所以E+A不可逆 3，由(E+BA)[E-B(E+AB)^(-1)A]得 E-B(E+AB)^(-1)A+BA-BAB(E+AB)^(-1)A =E-B(E+AB)^(-1)A+B[E-AB(E+AB)^(-1)]A =E-B(E+AB)^(-1)A+B[(E+AB)(E+AB)^(-1)-AB(E+AB)^(-1)]A =E-B(E+AB)^(-1)A+B[(E+AB-AB)(E+AB)^(-1)]A =E-B(E+AB)^(-1)A+B(E+AB)^(-1)A =E 所以E+BA可逆，且逆矩阵为B(E+AB)^(-1)A 4，A+B=ABB+AAB=A(A+B)B 因为A^2=B^2=E,且|A|+|B|=0,所以|A|=1,|B|=-1，或者|A|=-1，|B|=1 所以|A+B|=|A||(A+B||B|=-|A+B|, 所以|A+B|=0所以A+B不可逆