Question

设双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切

设双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则双曲线离心率为

Answer 1

双曲线x²/a²-y²/b²=1
的渐近线为y=±b/ax代入y=x²+1
得 x²±b/ax+1=0
∵双曲线渐近线与抛物线y=x²+1相切
∴Δ=b²/a²-4=0
∴b²=4a²
又b²=c²-a²
∴c²-a²=4a²
∴c²=5a²
∴e²=c²/a²=5
∴双曲线离心率e=√5

Answer 2

双曲线渐近线是y=±(b/a)x因为相切由于对称性任取一条可取bx-ay=0这条
与抛物线联立解得ax²-bx+a=0
由于相切b²-4a²=0
c²=5a²
所以e=√5