Question

设函数y=f(x)在<a,b>上连续,在(a,b)内可导,且在任一点处的导数都不为零,又f(a)f(b）<0,

证明方程f(x)=0在开区间（a，b）内有且仅有一个实根

Answer 1

楼上讲：导数一定是恒为正数或恒为负数是不对的。
证明是这样的：
由于y=f(x)在<a,b>上连续，且(a)f(b）<0，故f(x)=0在开区间（a，b）内至少有一个实根。现若
f(x)=0在开区间（a，b）至少有两个实根x1,x2，由罗尔定理，至少存在c属于（a，b），使f'(c)=0与题设矛盾。故方程f(x)=0在开区间（a，b）内有且仅有一个实根。

Answer 2

因为在(a,b)内可导，且在任意一点处的导数不为零，那么倒数一定是恒为正数或恒为负数，所以函数具有单调性，又因为f(a)f(b）<0,所以f(x)=0在开区间（a，b）内有且仅有一个实根是显然的

（若你还有不会的，我愿意探讨，最近我在线）(*^__^*) 嘻嘻……