Question

设函数f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3∫123f(x)dx=f（0），证明在（0，1）内存在一点c，使f

设函数f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3∫123f(x)dx=f（0），证明在（0，1）内存在一点c，使f′（c）=0．

Answer 1

函数f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
在(

2

3

，1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)(1?

2

3

)＝

∫

1 2 3

f(x)dx成立，即f(ξ)＝3

∫

1 2 3

f(x)dx；
因为3

∫

1 2 3

f(x)dx=f（0），所以f（ξ）=f（0）；
因为函数f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，根据中值定理可得：
在（0，ξ）内存在一点c，使f′（c）=0，所以，在（0，1）内存在一点c，使f′（c）=0．