Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)0,证明:在(0,1)内至少存在一

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)0,证明:在(0,1)内至少存在一点&,使得&f'(&)+f(&)=0.

Answer 1

构造函数g（x）=xf（x）

则根据题意：g（0）=g（1）=0

函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导
则g在（0,1）内也是可导的

根据罗尔定理：在(0,1)内至少存在一点&,，使得g ‘（&,）=0

g ’（&） =&f'(&)+f(&)

故结论得证

Answer 2

f(1)0是什么

追问

是f（1）=0。 谢谢

追答

那个式子看作xf(x)的导数F（x)=xf(x) F（1）=F(0)=0然后罗尔定理