Question

在平面直角坐标系xoy中，点p到两点（0，根号3）（0，负根号3）的距离之和为4，设点p的轨迹为C

火速给分，十万火急！！！（1）求C的轨迹方程（2）设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点，求k为何值时向量OA垂直于向量OB？

Answer 1

• (1) 设两点分别为F1，F2   

•       则 |PF1|+|PF2|=4

•       根据椭圆的第一定义可知P的轨迹C为椭圆

•      ∴ 2a = 4 → a = 2   ，c = √3

•           b² = a² - b² = 1

•      ∴ C：y² / 4 ＋x² = 1

• (2) 设 A (x1，y1) ，B (x2，y2)

•      ∵ 向量OA⊥向量OB 即 OA⊥OB

•      ∴y1y2 ／x1x2 ＝ -1

•     (联立) ┌ y = kx + 1

•                └ x² + y² / 4 = 1

•         得 (4 + k² ) x² + 2kx - 3 = 0

•         得   x1x2 ＝ -3 ／4 + k²

• 同理可得 y1y2 = 4(1 - k²)／4 + k² 

•   则 y1y2／x1x2 ＝ －[ 4(1 - k²)／(4+k²) ×  (4 + k²) / 3  ] ＝ -1

•   ∴ 4(1 - k)／3 ＝ 1

•   ∴1-k²= 3/4  →  k² = 1/4  →  k = ± 1/2

•   ∴当K= ±1/2 时 向量OA⊥向量OB

•  

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• 以下为同理详解：

•   (联立) ┌ y = kx + 1

•             └ x² + y² / 4 = 1

•      得  y²/4 + (y+1)²／k² = 1

•      得 (4 + k²)y² + 8y + 4(1-k²) = 0

•      得 y1y2 = 4(1 - k²)／4 + k²

• v

• 写了这么多总可以给我分吧？？

Answer 2

(1)p的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，长轴为y轴，长半轴为4/2=2，焦距为√3，短半轴为√[2^2-(√3)^2]=1，所以p的轨迹方程为x^2/1^2＋y^2/2^2=1，即x^2＋y^2/4=1①。(2)将y=kx＋1代入①，得两个交点的坐标分别为x1=[2√(3＋k^2)-k]/(4＋k^2)、y1=[2k√(3＋k^2)＋4]/(4＋k^2)；x2=[-2√(3＋k^2)-k]/(4＋k^2)、y2=[-2k√(3＋k^2)＋4]/(4＋k^2)；如果OA⊥OB，那么有(y1/x1)×(y2/x2)=-1②，将x1、y1，x2、y2代入②得k=±1/2③，即所求直线有两条，分别为y=x/2＋1和y=-x/2＋1。