Question

问a,b各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

Answer 1

增广矩阵 (A, β) =
[ 1 1 1 3 0]
[ 2 1 3 5 1]
[ 3 2 a 7 1]
[ 1 -1 3 -1 b]
行初等变换为
[ 1 1 1 3 0]
[ 0 -1 1 -1 1]
[ 0 -1 a-3 -2 1]
[ 0 -2 2 -4 b]
行初等变换为
[ 1 1 1 3 0]
[ 0 1 -1 1 -1]
[ 0 0 a-4 -1 0]
[ 0 0 0 -2 b-2]
当 a≠4 时，|A|=2(4-a)≠0, 方程组有唯一解。
当 a=4 时，|进一步行初等变换为
[ 1 1 1 3 0]
[ 0 1 -1 1 -1]
[ 0 0 0 1 0]
[ 0 0 0 0 b-2]
当 a=4，b≠2 时，r(A)=3, r(A, β) =4, 方程组无解。
当 a=4，b=2 时，r(A)=r(A, β) =3<4, 方程组有无穷多解。
此时，|进一步行初等变换为
[ 1 1 1 0 0]
[ 0 1 -1 0 -1]
[ 0 0 0 1 0]
[ 0 0 0 0 0]
进一步行初等变换为
[ 1 0 2 0 1]
[ 0 1 -1 0 -1]
[ 0 0 0 1 0]
[ 0 0 0 0 0]
方程组同解变形为
x1=1-2x3
x2=-1+x3
x4=0
取 x3=0， 得特解 (1, -1, 0, 0)^T
导出组即对应的齐次方程组是
x1=2x3
x2=x3
x4=0
取 x3=1， 得基础解系 (2, 1, 1, 0)^T，
则当 a=4，b=2 时，原方程组的通解是
x=(1, -1, 0, 0)^T+k(2, 1, 1, 0)^T， 其中k为任意常数。

Answer 2