Question

若数列｛an｝的通项公式为an＝2的n次方＋2n－1，则数列an的前n项和？

若数列｛an｝的通项公式为an＝2的n次方＋2n－1，则数列的前n项和Sn为？这题怎么解啊？通项公式与Sn有什么联系？思路是什么

Answer 1

Sn是数列｛an｝的前n项和

Sn=a1+a2+a3+……+an
Sn=(2^1+2×1-1)+(2^2+2×2-1)+(2^1+2×3-1)+……+(2^n+2×n-1)
Sn=(2^1+2^2+2^3+……+2^n)+2×(1+2+3+……+n)-1×n
等比数列前n项和公式
Cn=a1(1-q^n)/(1-q)
a1指首项 q是公比
设Cn=2^1+2^2+2^3+……+2^n
首项是2 公比是2
Cn=2×(1-2^n)/(1-2)
=2^(n+1)-2

2×(1+2+3+……+n)
=2×[(1+n)×n/2]
=n^2+n

Sn=2^(n+1)-2+n^2+n-n
Sn=2^(n+1)-2+n^2

中学生数理化为你回答
求采纳

****************以上为解题过程

已知通项公式an求Sn
对等差数列、等比数列，求前n项和S­n­­可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

本题这种复杂的通项公式需要用Sn=a1+a2+a3+……+an转化成等差等比数列

若只知道Sn的形式化简，有几种方法
错位相减法

前n项和用错位相减求和法求和，在和式的两边同乘以公比q，再错位相减即可以求出前n项和

举个例子
已知Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)× x^(n-1)，求Sn
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)× x^(n-1) ①

xSn= x+3x^2+5x^3+…+(2n-3)× x^(n-1)+(2n-1)x^n ②
①-②
(1-n)Sn=1+2x+2x^2+2x^3+…+2x^(n-1)-(2n-1)x^n
后可用等比数列前n项和公式
(1-x)Sn=1+2(1-x^n)/(1-x)-(2n-1)x^n

Sn=1/(1-x)+2(1-x^n)/(1-x)²-(2n-1)x^n/(1-x)

裂项求和法
就是把一个乘积项裂成多个项的加减形式

an=1/n(n+1)就可以裂成1/n-1/(n+1)

Sn=1/(1+2)+1/(2+3)+…+1/n(n+1)
Sn=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/n+1
Sn=1-1/n+1

Answer 2

数列｛an｝看成 两个数列的和
令bn=2的n次方，cn=2n-1，则an=bn+cn，其中数列｛bn｝为等比数列、数列｛cn｝为等差数列
求数列｛an｝的前n项和，就是求｛bn｝与｛cn｝两个数列前n项和的和