如图8,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x^2+4x+5的图像交x轴于点A、B,交y轴于点C,顶点为P,
点M是x轴上的动点。(1)求MA+MB的最小值(2)求MP-MC的最大值(3)当M在x轴的正半轴(不包含坐标原点)上运动时,以CP、CM为邻边作平行四边形PCMD。PCM...
点M是x轴上的动点。
(1)求MA+MB的最小值
(2)求MP-MC的最大值
(3)当M在x轴的正半轴(不包含坐标原点)上运动时,以CP、CM为邻边作平行四边形PCMD。PCMD能否为矩形?若能,求M点的坐标;若不能,简要说明理由。 展开
(1)求MA+MB的最小值
(2)求MP-MC的最大值
(3)当M在x轴的正半轴(不包含坐标原点)上运动时,以CP、CM为邻边作平行四边形PCMD。PCMD能否为矩形?若能,求M点的坐标;若不能,简要说明理由。 展开
3个回答
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解:(1)-x2+4x+5=0,
得x1=-1,x2=5,
所以A(5,0),B(-1,0),
MA+MB的最小值为AB(或MA+MB≥AB),
即MA+MB的最小值为:MA+MB=AB=6;
(2)由y=-x2+4x+5,
x=0时,y=5,
即C(0,5),
y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
故P(2,9),
作PD⊥y轴,垂足为D,
则PD=2,CD=9-5=4,
∵只有M,CP在一条直线上时,MP-MC的值最大为PC,
∴MP-MC的最大值为:PC=PD2+CD2=25;
(3)若PCMD为矩形,
即∠PCM=90°,
则∠DCP+∠MCO=90°,∵∠DCP+∠DPC=90°,
∴∠CMO=∠DCP,
∵∠COM=∠PDC=90°,
∴△PCD∽△CMO,
PDCD=COMO,
24=5MO,
解得MO=10,
即存在点M(10,0),能使PCMD为矩形.
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用、矩形的判定、相似三角形的判定与性质等知识,根据图象得出MP-MC的最大值为PC是解题关键.
参考资料: 2012年广东省江门市中考调研测试数学试卷
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解:∵y=-x^2+4x+5
=-(x-2)^2+9
∴顶点P坐标为(2,9),A、B点坐标分别为(5,0)、(-1,0),C点坐标为(0,5);
设M点坐标为(m,0);
则MA=5-m
MB=m-(-1)
=m+1
∴MA+MB=5-m+m+1
=6
MP=√(m-2)^2+(-9)^2
=√(m-2)^2+81
CM=√m^2+(-5)^2
=√m^2+25
∴MP-CM=√[(m-2)^2+81]-√(m^2+25)
∵-1≤m≤5
∴当m=-1时,MP-CM=3√10-√26
当m=0时,MP-CM=-5+√85
当m=5时,MP-CM=3√10-5√2
∴当m=-1时,MP-CM最大且=4.3878
肯定存在M点使得PCDM能为矩形。
∵直线CP的斜率Kcp=(9-5)/2
=2
∴直线CM的斜率Kcm=-1/Kcp
=-1/2
又直线CM过C点,
∴直线CM的方程为:y=(-1/2)x+5
∴0=(-1/2)m+5
m=10
∴M点坐标为(10,0)。
=-(x-2)^2+9
∴顶点P坐标为(2,9),A、B点坐标分别为(5,0)、(-1,0),C点坐标为(0,5);
设M点坐标为(m,0);
则MA=5-m
MB=m-(-1)
=m+1
∴MA+MB=5-m+m+1
=6
MP=√(m-2)^2+(-9)^2
=√(m-2)^2+81
CM=√m^2+(-5)^2
=√m^2+25
∴MP-CM=√[(m-2)^2+81]-√(m^2+25)
∵-1≤m≤5
∴当m=-1时,MP-CM=3√10-√26
当m=0时,MP-CM=-5+√85
当m=5时,MP-CM=3√10-5√2
∴当m=-1时,MP-CM最大且=4.3878
肯定存在M点使得PCDM能为矩形。
∵直线CP的斜率Kcp=(9-5)/2
=2
∴直线CM的斜率Kcm=-1/Kcp
=-1/2
又直线CM过C点,
∴直线CM的方程为:y=(-1/2)x+5
∴0=(-1/2)m+5
m=10
∴M点坐标为(10,0)。
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二次函数y=-x^2+4x+5,所以A(5,0);B(-1,0),P(2,9),C(0,5)。
MA+MB出现最小值时,则M为线段|BA|的中点。就是说有向线段MA为正数,MB为负数,它们的代数和为0.所以点M必须在M(2,0)处。
设直线PC交x轴于点M,则M即为所求。此时,三角形MPC在同一条直线上。若不然,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边啦。
P与C都是固定的点,我们可以过C做直线PC的垂线,交x轴于点M。过P做直线CM的平行线交抛物线于点N。以计算就知道啦。
MA+MB出现最小值时,则M为线段|BA|的中点。就是说有向线段MA为正数,MB为负数,它们的代数和为0.所以点M必须在M(2,0)处。
设直线PC交x轴于点M,则M即为所求。此时,三角形MPC在同一条直线上。若不然,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边啦。
P与C都是固定的点,我们可以过C做直线PC的垂线,交x轴于点M。过P做直线CM的平行线交抛物线于点N。以计算就知道啦。
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