Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=-(2/3)x^2+bx+5的图像与x轴、y轴的公共点分别为A（5,0）、

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=-(2/3)x^2+bx+5的图像与x轴、y轴的公共点分别为A（5,0）、B，点C在这个二次函数的图像上，且横坐标为3.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求角BAC的正切值；
（3）如果点D在这个二次函数的图像上，且角DAC=45度，求点D的坐标。

1\ 把A(5，0)代进去，x=5时，y=0. -2/3*25+5b+5=0 得到b=7/3
y=-2/3 x^2+7/3 x +5

2\ 求出B、C的坐标
当x=3时，y=6 ,C 是（3,6）
当x=0时，y=5 B是 （0，5）
现在有 A(5，0) B(0，5) C(3，6) O(0，0) 4个点的坐标
BC= AB= AC= 得：BC*AC＝AB^2 所以BCA为RT
所以 tanBAC＝BC/AC=1/2

3、设D（x、-2/3 x^2+7/3 x +5），作DHX轴，DFAC，则CG=AC=
直线BC ：Y=(1/3)X+5 延长BC至点G，连接AD至G点
则G坐标为（-3，4）或G（9，8）
由直线AG： Y=-(1/2)X+5/2
y=-2/3 x^2+7/3 x +5
得：D（-3/4，23/8)
由直线AG: Y=2x-10
y=-2/3 x^2+7/3 x +5
得：D（-9/2，-19)
问为什么由直线AG: Y=2x-10
y=-2/3 x^2+7/3 x +5
得：D（-9/2，-19) 这个是去掉，哪里做错了？

Answer 1

前面2问做的都很对，第3问明显做错了：
首先，延长CB至G点，使得：|CB|=|BG|=sqrt(10)，直线BC的方程：y=x/3+5
设G点坐标(x,y)，则：|BG|^2=x^2+(y-5)^2=x^2+x^2/9=10，即：x=-3或x=3
注意：x=3其实是C点的横坐标，故G点(-3,4)，点(9,8)是直线BC上G点关于C点的对称点
***先说(9,8)这个点：过该点与A点的直线是：y=2x-10，与抛物线的2个交点为A点(5,0)和
点(-9/2,-19)，A点显然不合适，点(-9/2,-19)与A点的连线实际上与AC成的角度为3π/4
也是不对的，要舍去。
***再说G(-3,4)这个点：直线AG的方程：y=-x/2+5/2，与与抛物线的2个交点为A点(5,0)和
D点，联立：y=-x/2+5/2和y=(-2/3)x^2+(7/3)x+5得：4x^2-17x-15=0，即：(x-5)(4x+3)=0
可得：x=5或x=-3/4，x=5是A点的横坐标，故D点坐标(-3/4,23/8)
故满足条件的D点只有这一个，即：(-3/4,23/8)