Question

二道高数题，问题在图片里面！

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Answer 1

第一题解法：因为当x趋于无穷大时f(x)的导数趋于零，所以当x趋于无穷大时f(x)存在，本题重点是证明不大于1+派/4，因为当x大于1时f(x)的导数为正，且f(1)=1，所以当x大于1时f(x)大于1，所以当x大于1时f(x)的导数小于1/(x^2+1)，而正切反函数的导数是1/(x^2+1)，且x趋于无穷大时正切反函数趋于 派/4，问题得证。
第二题解法：利用罗尔定理，视a为变量，把等式右边的积分移到左边，当a=0时，变换后的积分式大于0，当a=1时，小于0，所以存在介于0和1间的实数使积分式等于0，问题是证明唯一性，把积分式求导，因为f(x)+g(x)不等于0，所以求导后的式子小于0，所以积分式的导数在0和1间不为0，正就证明了唯一性。

追问

第一题，只能证明趋于派/4，那个+1，怎么证明？

第二题，当a=0时，变换后的积分式大于0，当a=1时，小于0，怎么个变换，怎么大于0，恕我愚昧，能不能写出来?

追答

第一题中因为f(1)=1，而正切反函数自变量为1时等于 派/4，而当x大于1以后，
f(x)递增速度就小于正切反函数了，x趋于无穷大时正切反函数是趋于 派/2（是我打错了），也就是 派/4+派/4，所以f(x)极限不大于1+派/4。
第二题所谓的变换就是把积分等式右边的积分移到左边，当a=0时，f(x)绝对值的积分区间就是从0到1，为正，而g(x)^2的积分区间是0到0，为0，前者减后者不就是大于0吗，当a=1时类似。