Question

如图，已知抛物线的方程C1: y=- (x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于 点B、C，与y 轴相交于点E

如图，已知抛物线的方程C1:y=- (x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) x = 2, y = -4(2 - m) = 2, m = 5/2

(2) B(-2, 0), C(5/2, 0)
x = 0, y = 5, E(0, 5)
S = (1/2)BC*E的纵坐标 = (1/2)(5/2 + 2)(5/2) = 45/8

(3) 对称轴x = (-2 + 5/2)/2 = 1/4

设过H(1/4, h)的水平线(与x轴平行)与BE交于D; 显然∠DHE = ∠DHB时, BH + EH最小
tan∠DHB = tan∠HBO = H的纵坐标/(H的横坐标 + 2) = h/(1/4 + 2) = 4h/9
tan∠DHE = (E的纵坐标 - D的纵坐标)/(H的横坐标 - E的横坐标) = (5 - h)/(1/4 - 0) = 4(5 - h)
4h/9 = 4(5 - h)
h = 9/2
H(1/4, 9/2)

(4)
tan∠CBE = 5/2, ∠CBE ≈ 68˚
tan∠BCE = 2, ∠CBE ≈ 63˚
∠BEC ≈ 49˚
三者均为锐角
在第四象限内，抛物线C1上点F使∠BCF > 90˚, F不存在

Answer 2