Question

定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n）=f（m）+f（n）成立，当x＞

定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当 f(2)=- 1 2 时，解不等式f（x 2 -3x）＞-1．

Answer 1

（Ⅰ）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m?n）=f（m）+f（n）， ∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0 证明：（II）设0＜x 1 ＜x 2 ，∵f（m?n）=f（m）+f（n）即f（m?n）-f（m）=f（n） ∴ f( x 2 )-f( x 1 )=f( x 2 x 1 x 1 )-f( x 1 ) = f( x 2 x 1 )+f( x 1 )-f( x 1 )=f( x 2 x 1 ) ． 因为0＜x 1 ＜x 2 ，则 x 2 x 1 ＞1 ，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x 2 ）＜f（x 1 ） 于是f（x）在（0，+∞）上是减函数． （Ⅲ）因为f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x 2 -3x）＞f（4）， 因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜x 2 -3x＜4， 解得-1＜x＜0或3＜x＜4， 故所求不等式的解集为{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．