Question

设函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，若对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma2

设函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，若对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma2+2m2a，则正实数m的最小值是（　　）A．12B．1C．32D．2

Answer 1

由已知条件知：ma²+2m²a＞0；
∴若x≤0，则f（x）=e^x＞0，∴f（f（x））=lne^x=x≤0，∴这种情况不存在；
若0＜x≤1，则f（x）=lnx≤0，∴f（f（x））=e^lnx=x≤1，x＞1时，f（x）=lnx＞0，f（f（x）=ln（lnx）∈R；
∴只有f（f（x））＞1，即ma²+2m²a＞1时，对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma²+2m²a；
∵a∈（1，+∞），∴m+2m²≥1，即2m²+m-1≥0，∵m＞0，∴解得m≥

1

2

；
∴正实数m的最小值是

1

2

．
故选A．