Question

如图所示，在光滑的水平面上固定一平台和一半径为R的四分之一圆弧轨道，平台和圆弧轨道面均光滑，圆弧右

如图所示，在光滑的水平面上固定一平台和一半径为R的四分之一圆弧轨道，平台和圆弧轨道面均光滑，圆弧右端竖直方向无限长且光滑．一质量为M=2m、长L=6.5R的小车静止在水平面上，小车左端紧靠平台等高．小车右端上表面所在平面与圆弧相切于C点．平台上两滑块A、B紧挨在一起（均可看成质点），A的质量是4m，B的质量m．两滑块在足够大的内力作用下突然分离，A滑块获得v=34gR的速度，B滑块从小车左端滑上小车，并在B的作用下小车开始向右运动．小车运动到C时被牢固粘连，小车右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内取值，B与小车间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度取g，试分析：（1）滑块B滑上小车时的初速度；（2）试讨论滑块B最终停在小车上的位置．

Answer 1

（1）选A、B为系统为研究的对象，向右为正方向，由动量守恒：m_Av_A=m_Bv_B…①，
代入数据解得：vB＝3

gR

…②
（2）滑块和小车达到共同速度时没有离开小车，滑块与小车为系统mv_B=（m+M）v…③
能量守恒：μmgs1＝

1

2

m

v

2 B

+

1

2

(m+M)v2…④
由上述解得：s₁=6R＜l=6.5R…⑤
即达到共同速度时滑块不脱离小车，对小车由动能定理：μmgs2＝

1

2

Mv2…⑥
由③⑥得：s₂=2R
讨论：Ⅰ当R＜L＜2R时，滑块在小车上一直减速到右端，
此时速度为v_c，对滑块，动能定理：?μmg(l+L)＝

1

2

m

v

2 c

?

1

2

m

v

2 B

…⑦
解得：vc＝

(2.5R?L)g

＞0根据能量守恒可知，滑块B回到c点时速度大小也为vc＝

(2.5R?L)g

，设滑块停在C点左边的s1′处，
动能定理：?μmgs1′＝0?

1

2

m vc2…⑧
由以上解得：s1′=2.5-L＜6.5R
滑块B不会从左端滑出，最后停在C点左边：s1′=2.5-处L
Ⅱ当2R≤L＜5R，滑块B与小车最终一起运动至小车与C相碰，碰后滑块B在小车上继续做减速运动到右端，设此时的速度为v_c1，对滑块B动能定理：
?μmg(l+s2)＝

1

2

m

v

2 c1

?

1

2

m

v

2 B

…⑨
解得：vc1＝

gR 2

＞0根据能量守恒可知，滑块B最后回到C点的速度大小也为：vc1＝

gR 2

设滑块停在C点左边的s'₂处，由等能定理得：?μmgs2′＝0?

1

2

m

v

2 c1

=10…⑩
由上述解得：s′2＝

R

2

＜6.5R
可见滑块B不会从左端滑出，最后停在C点的左边s′2＝

R

2

处．
答：（1）滑块B滑上小车时的初速度是3

gR

；
（2）Ⅰ：当R＜L＜2R时，滑块在小车上一直减速到右端，滑块B不会从左端滑出，最后停在C点左边s1′=2.5-处L；Ⅱ：当2R≤L＜5R，滑块B与小车最终一起运动至小车与C相碰，块B不会从左端滑出，最后停在C点的左边s′2＝

R

2

处．