Question

已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+34，试问C上能否存在关于直线l对称的两点？若存在，求出实数k的取值范围

已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+34，试问C上能否存在关于直线l对称的两点？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

设两点存在，分别为A（a²，a），B（b²，b），设AB的斜率为k′，k′=-

1

k

，
∴k′＝

a?b

a2?b2

=

1

a+b

=-

1

k

，
∴a+b=-k，b=-k-a，
设M（m，n），则m=

a2+b2

2

=

(a+b)2?2ab

2

=

k2?2ab

2

，
n=

a+b

2

=-

k

2

，
-

k

2

＝k?

k2?2ab

2

+

3

4

，-2k=2k³-4ka（-k-a）+3，
4ka²+4k²a+2k³+2k+3=0，
△=（4k²）²-4?4k（2k³+2k+3）=-16k（k+1）（k²-k+3）≥0，
∵k²-k+3=（k-

1

2

）²+

11

4

＞0，
∴-k（k+1）≥0，解得-1≤k≤0
∴实数k的取值范围是[-1，0]．