如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于
如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-...
如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小．
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解答：
解：（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，
所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有DE＝
a，
在Rt△PDB中，DF＝
＝
a，
在Rt△PCB中，
＝
，
得EF＝
a，
于是cos∠EFD＝
＝
，
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．
解：（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有DE＝
| ||
| 2 |
在Rt△PDB中，DF＝
| PD?DB |
| PB |
| ||
| 3 |
在Rt△PCB中，
| EF |
| BC |
| PE |
| PB |
得EF＝
| ||
| 6 |
于是cos∠EFD＝
| EF2+DF2?DE2 |
| 2EF?DF |
| 1 |
| 2 |
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．
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