Question

已知向量a＝（-3，1）b＝（1，-2），m＝a+kb 1若向量m与向量2a-b垂直 求k 2设a与

已知向量a＝（-3，1）b＝（1，-2），m＝a+kb
1若向量m与向量2a-b垂直 求k
2设a与m的夹角为α，b与m的夹角为β，是否存在k，使α+β＝π。有，求出k，无说明理由，

Answer 1

a*b=－5，又：(a＋kb)*(2a－b)=0，得：2|a|²＋(2k－1)a*b－k|b|²=0，代入，得：
2×10－5(2k－1)－5k=0
k=5/3

α＋β=π，则：cosα=cos(π－β)=－cosβ
则：
[a*m]/[|a|×|m|]=－[b*m]/[|b|×|m|]
[a*(a＋kb)]/[a|]=－[b(a＋kb)]/[|b|]
[|a|²＋ka*b]/[|a|]=－[a*b＋k|b|²]/[|b|]
[10－5k]/[√10]=－[－5＋5k]/[√5]
5k－10=√2(5k－5)
得：k=－√2

Answer 2

1、m＝a+kb=(k-3，1-2k)
2a-b=(-7，4)
∵m⊥(2a-b)∴-7(k-3)+4(1-2k)=0 ∴k＝5/3
2、设存在k，使α+β＝π，则cosβ=-cosα
a·m=-3×(k-3)+1×(1-2k)=10-5k |a|=√10
b·m=1×(k-3)+(-2)×(1-2k)=5k-5 |b|=√5
cosα=a·m/(|a|×|m|)=(10-5k)/(√10×|m|)
cosβ=b·m/(|b|×|m|)=(5k-5)/(√5×|m|)=-cosα=(5k-10)/(√10×|m|)
∴(5k-5)/(√5)=(5k-10)/(√10)
∴k=-√2
∴设存在k=-√2，使α+β＝π，则cosβ=-cosα