Question

已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1e，e]（e为自然对数的底

已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1e，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若F（x）的导函数为f（x），试写出一个符合要求的F（x）（无需过程）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递增，
又∵f（1）=ln1=0，
∴函数f（x）在[1，3]上的最小值为0；
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

．
若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值．
设h(x)＝2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)＝

2

x

+1?

3

x2

＝

(x+3)(x?1)

x2

．
当x∈[

1

e

，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
由h(

1

e

)＝?2+

1

e

+3e，h(e)＝2+e+

3

e

，h(

1

e

)?h(e)＝2e?

2

e

?4＞0，
可得h(

1

e

)＞h(e)，
∴当x∈[

1

e

，e]时，h（x）的最大值为h(

1

e

)＝?2+

1

e

+3e．
故a≤?2+

1

e

+3e．                            
（Ⅲ）F(x)＝

x2

2

lnx?

x2

4

．