Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点， （1）求证：AC⊥BC1； （2）

（2）求证：AC1∥平面CDB1；

（3）求三棱锥C1-CDB1的体积．
CC1⊥平面

ABC

Answer 1

1由AC=3，BC=4，AB=5
即∠ACB=90°
即AC⊥BC
又直三棱柱ABC-A1B1C1
即CC1垂直平面ABC
即CC1⊥AC
由AC交CC1=C
即AC⊥平面BCC1
即AC⊥BC1
2连结BC1交B1C于点O，连结DO
由BCB1C1是矩形
即O是BC1的中点
又D是AB的中点
即OD//AC1
又OD在平面B1CD中
即AC1∥平面CDB1；
3三棱锥C1-CDB1的体积
=三棱锥B-CDB1的体积
=三棱锥B1-CDB的体积
=1/3*S(DBC)*BB1
=1/3*1/2*S(ABC)*BB1
=1/3*1/2*1/2*3*4*4
=4

Answer 2

（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，
又∵AC=3，BC=4，AB=5，由勾股定理可知，AC⊥BC，
∵C1C交BC于点C，∴AC⊥面BCC1B1，
∵BC1∈面BCC1B1，∴AC⊥BC1.
（2）证明：取B1C交BC1于点E，由已知条件得，E为BC1的中点，
又∵D是AB的中点，∴DE∥AC1，
又∵DE∈面CDB1，AC1∉面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
（3）解：有已知可知，V-C1-CDB1=1/3V-ABC-A1B1C1=1/3(1/2AC乘以BC)乘以CC1=1/3乘以3乘以4除以2乘以4=16.