Question

已知二次函数y=x 2 -2mx+1．记当x=c时，函数值为y c ，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意

已知二次函数y=x 2 -2mx+1．记当x=c时，函数值为y c ，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有y a +y b ≥1．

Answer 1

设y在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，M≥ 1 2 ， 二次函数y=x 2 -2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线， ①当对称轴x=m≤0时，由图象可知，x=0时，y 最小 =1，这时1≥ 1 2 成立； ②当对称轴x=m，0＜m＜1时，由图象可知x=m时，y 最小 且y 最小 =1-m 2 ，有1-m 2 ≥ 1 2 ，m 2 ≤ 1 2 ，故有0＜m≤ 2 2 ； ③当对称轴x=m，m≥1时，由图象可知，x=1时，y 最小 且y 最小 =2-2m，这时有2-2m≥ 1 2 ，m≤ 3 4 与m≥1矛盾． 综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤ 2 2 ．