Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求a的值

已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求a的值．

Answer 1

联立

y＝ax+1 3x2?y2＝1

，消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．
由△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²＞0，得?

6

＜a＜

6

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2＝

2a

3?a2

，x1x2＝?

2

3?a2

．
所以y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1
=a2?(?

2

3?a2

)+a?

2a

3?a2

+1＝1．
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即?

2

3?a2

+1＝0，解得a=±1．
满足?

6

＜a＜

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