Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD．（Ⅰ）求直线PB与平面PDC

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD．（Ⅰ）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值；（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）取DC的中点E．
∵ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，∴BE⊥CD．
∵PD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PD⊥BE．
∴BE⊥平面PDC．∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角．
∵BE=

3

2

a，PE=

5

2

a，∴tan∠BPE=

BE

PE

=

15

5

．
（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥PD．∴AO⊥平面PDB．
作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB．
故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角．
∵AO=

3

2

a，OF=

2

4

a，∴tan∠AFO＝

AO

OF

=

6

．
∴∠AFO=arctan

6

．