Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC-A1B1C1体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由侧面AA₁B₁B为正方形，知AB⊥BB₁．
又∵AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又∵AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB₁，设O是BB₁的中点，连接CO，则CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB₁B₁A，且CO=

3

2

BC=

3

2

AB=

3

．
连接AB₁，则VC?ABB1=

1

3

S△ABB1?CO=

1

6

×AB²?CO=

2 3

3

．
∵VB1?ABC=VC?AA1B1=VC?A1B1C1=

1

3

VABC?A1B1C1=

2 3

3

，
∴V_三棱柱=2

3

．